रुलेटांत सलग निकालांच्या माळेची संभाव्यताय
एकाच रंगाच्यो लांब माळो सदांच दिसतात. फुडल्या फिरकेखातीर तांकां कांयच अर्थ ना.
सलग पांच तांबडे: 2.7%. धा: 0.074%. 200 फिरक्यांच्या सत्रांत एकाच रंगाची साची माळ दिसना जावपा परस दिसपाचीच संद चड.
हारींची माळ कितली फावटीं येता
एका शून्याच्या चाकाचेर समरकमेची पैज 37 पयकीं 19 फिरक्यांनी हारता. दरेक वळ थारावीक फिरक्यांची पुराय माळ हारपाची संद दाखयता, आनी दरेक हारी उपरांत पैज दुप्पट करपी Martingale खेळगड्याचो तो मेरेनचो तोटो लेगीत दाखयता.
| सलग हार | संद | सुमार इतल्यां पयकीं 1 | आतां मेरेनचो तोटो | फुडली पैज |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
एका थारावीक फिरके थावन मेजतना, दरेक हारी खातीर 19/37 न परतून गुणचें. लांब सत्रांत अशी माळ सुरू जावंक शकता अश्यो जायत्यो फिरक्यो आसतात; देखून पुराय सांजेच्या खेळांत ती येवपाची संद एका वळींत दिसता ताचे परस खूब चड आसता.
एक माळ
फुडल्यो k फिरक्यो सगळ्यो तांबड्योपैजतांबडो18 तांबड्या आंकड्यांचेर समरकमेची पैज. फ्रेंच: rouge.पुराय वाचात → येवपाची संभाव्यतायगणीतसंभाव्यतायएखादो निकाल येवपाची संद, 0 ते 1 वा 0% ते 100%. एक आंकडो: 1/37 = 2.70%.पुराय वाचात → (18/37)ᵏ. दोन: 23.7%. पांच: 2.7%. धा: 0.074%, म्हळ्यार सुमार 1,350 पयकी 1. वीस: 1.8 दशलक्षां पयकी 1. सव्वीस, Monte Carlo चो विक्रम: 137 दशलक्षां पयकी 1. ह्यो एका थारायिल्ल्या फिरके थावन सुरू जावपी एका थारायिल्ल्या माळेच्यो संभाव्यताय, आनी हो प्रस्न खरें म्हळ्यार लागीं लागीं कोणूच विचारिना.
एका सत्रांत
लोकांक विचारपाचो आसता तो प्रस्न म्हळ्यार “म्हज्या सत्रांत खंय तरी k ची माळ दिसतली?”, आनी ताची जाप (18/37)ᵏ परस खूब व्हडली, कित्याक 200 फिरक्यांचें सत्र माळ सुरू जावपाक लागीं लागीं 200 सुवाती दिता. एकाच रंगाची, तांबडी वा काळीपैजकाळो18 काळ्या आंकड्यांचेर समरकमेची पैज. फ्रेंच: noir.पुराय वाचात →, स वा चड निकालांची माळ 200 फिरक्यांच्या सत्रांत सुमार 94% फावटीं दिसता; आठ वा चड सुमार 47%; धा वा चड सुमार 14%. रंग आदींच थारायल्यार संद उणी जावन सुमार 75%, 27% आनी 7% जाता. सांजभर बसपी खेळगड्याक दर सांजे लांब माळो दिसतल्यो.
Martingale खातीर हें म्हत्वाचें कित्याक
हारल्या उपरांत पैज वाडोवपी दरेक पैज बदलपाच्या पद्धतीकरणनीतीपैज बदलपाची पद्धतआदल्या निकालांचेर आदारून पैजेची रक्कम बदलपी खंयचोय नेम. नकारात्मक पद्धती तोट्या उपरांत रक्कम वाडयतात, सकारात्मक जैता उपरांत.पुराय वाचात → मोडपी माळेची एक लांबाय आसता: $10 मुळाव्या पैजे थावन $500 मर्यादेर स हारी, FibonacciरणनीतीFibonacci1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… ह्या क्रमान चलपी पैज बदलपाची पद्धत: हारल्या उपरांत एक पावल फुडें, जिखल्या उपरांत दोन पावलां फाटीं.पुराय वाचात → खातीर धा, डझनांचेरपैजडझन1–12, 13–24 वा 25–36; मेळपी रक्कम 2:1.पुराय वाचात → तीन पटीन करतना पांच. समरकमेच्या पैजेचेर सलग स हारपाची संभाव्यताय दर यत्नाक (19/37)⁶ ≈ 1.8%, आनी 200 फिरक्यांच्या सत्रांत सुमार 100 यत्न आसूं येतात, देखून त्या लांबायेच्या पांच सत्रां पयकी सुमार चार सत्रांनी पद्धत मोडटा. रुलेटांतल्या सलग निकालांच्या माळांची संभाव्यताय हेंच कारण की हो कडेलो कुसकुशीत ना.
गरम आनी थंड आंकडे
स्ट्रेट अपाकूयपैजस्ट्रेट अपएकूच आंकडो; मेळपी रक्कम 35:1.पुराय वाचात → हेंच गणीत लागू जाता. 300 फिरक्यांनी दरेक आंकड्याची अपेक्षित संख्या 8.1; प्रमाण विचलनगणीतप्रमाण विचलनप्रसरणाचें वर्गमूळ; अपेक्षित मोला सावन निकालाचें सादारण अंतर.पुराय वाचात → सुमार 2.8. फकत योगायोगान एखादो आंकडो 15 फावटीं आनी एखादो 2 फावटीं दिसतलो, दर फावटीं. “गरम” आंकडे उजवाडाक हाडपी निकालफळी प्रसामान्य वांटणेचें वयलें तोंक उजवाडाक हाडटा. गरम आंकड्याकगैरसमजगरम आंकडोलागींच अपेक्षे परस चड फावटीं आयिल्लो आंकडो. निपक्षपाती चाकाचेर तो कांयच सांगना.पुराय वाचात → खरोच कांय अर्थ येवपाक कितल्यो फिरक्यो लागतात तें प्रयोगशाळा सांगता (हजारांनी, एकाच वळखिल्ल्या चाकाच्यो).
स्वतंत्रताय होच सगळो मुद्दो
सलग धा तांबडे आयले म्हूण काळो येवपाची संद वाडना, आनी तांबडो येवपाचीय वाडना. दोनूय 18/37. सलग निकालांच्यो माळो यादृच्छीक क्रमाचें एक लक्षण, आनी त्यो नासल्यार दुबाव येवंक जाय: 200 फिरक्यांच्या क्रमांत चार परस लांब माळूच ना जाल्यार तो बाराच्या माळे परस खूब चड घोटाळ्याचो पुरावो जातलो.
सूत्र
प्रस्न
18 ऑगस्ट 1913 दिसा Monte Carlo हांगा 26 काळे ही नामनेची. 1943 त एका अमेरिकन कॅसिनोंत सलग 32 तांबडे आयल्याची खबर आयिल्ली. कॅसिनोंनी कितल्यो फिरक्यो जातात तें पळयल्यार दोनूय योगायोगाकडेन जुळटात.
खंयचेय वटेन 18/37. तुमची येवजण सांगता ती पैज लायात, वा कांयच लायनात.
ना. पक्षपात हजारांनी फिरक्यांनी कांय कप्पेसाधनांकप्पोरोटराचेर आशिल्ल्या 37 आंकडेवार कप्प्यां मदलो एक. हेर नांवां: स्लॉट, कप.पुराय वाचात → चड फावटीं लागपांत दिसता, रंगाच्या माळांनी न्हय.
गणिताची मजा
पयलीं हे प्रस्न तुमी स्वता सोडोवन पळयात. दरेक उकल लिपयल्या; तुमी तयार जातकच ती उगडात.
युरोपी चाकाचेर सगळे 37 आंकडे उण्यांत उणे एक फावट येवपाक, सरासरी कितल्यो फिरक्यो लागतात?
उकल दाखयात
जाप सरासरी सुमार 155 फिरक्यो; मध्यक 147.
एक एक नवो आंकडो धरून वाट पळोवपाचो वेळ मेजात. पयली फिरकी सदांच नवो आंकडो दाखयता. 1 आंकडो पळयल्या उपरांत 37 पयकी 36 कप्पेसाधनांकप्पोरोटराचेर आशिल्ल्या 37 आंकडेवार कप्प्यां मदलो एक. हेर नांवां: स्लॉट, कप.पुराय वाचात → नवे, देखून फुडलो नवो आंकडो येवपाक सरासरी 37/36 फिरक्यो लागतात. k आंकडे पळयल्या उपरांत 37/(37 − k) लागतात.
हे वेळ एकठांय करात: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 फिरक्यो.
तातूंतलो चड वेळ निमाणें वता. फकत निमाण्या आंकड्याक सरासरी 37 फिरक्यो लागतात, आनी निमाण्या पांचांक सुमार 85. अमेरिकन चाकाचेर हीच बेरीज सुमार 161 दिता. हो कूपन एकठांय करपाचो प्रस्न; हेंच सरासरी मोल सादारण गणनेंतल्यान मेळटा.
युरोपी चाकाचेर 37 फिरक्यांनी, म्हळ्यार दर कप्प्याखातीर एक फिरकी, कितले वेगवेगळे आंकडे पळोवपाक मेळटले अशें तुमी अपेक्षा करूं येता?
उकल दाखयात
जाप सुमार 23.6. सुमार एक तृतीयांश आंकडे, म्हळ्यार सुमार 13, एक फावटूय येनात.
एक आंकडो घेयात, देखीक 17. दर फिरकेंत तो 36/37 संदीन येना, देखून सगळ्या 37 फिरक्यांनी तो चुकपाची संद (36/37)³⁷ ≈ 0.363.
दरेक आंकड्याक तीच संद आसा, देखून सरासरी 37 × 0.363 ≈ 13.4 आंकडे येनात आनी 37 − 13.4 ≈ 23.6 येतात, तातूंतले जायते दोन वा चड फावटीं.
रुलेट खेळगडी हाका तृतीयांशाचो नेम म्हणटात. हो खंयचोच नेम न्हय, फकत परतून येवपाचें गणीत: चाकाइतल्या लांब माळेंत सुमार एक तृतीयांश आंकडे भायर उरतात, निपक्षपाती चाकाचेर हेर खंयच्याय चाका सारकेंच. 38 कप्प्यांचेर हो वांटो (37/38)³⁸ ≈ 0.363 च; व्हडल्या चाकाखातीर तो 1/e ≈ 0.368 लागसार थिरावता.
एक इश्ट तुमकां 50 रंगांच्यो दोन वळेरी दाखयता, तांबडोपैजतांबडो18 तांबड्या आंकड्यांचेर समरकमेची पैज. फ्रेंच: rouge.पुराय वाचात → वा काळोपैजकाळो18 काळ्या आंकड्यांचेर समरकमेची पैज. फ्रेंच: noir.पुराय वाचात →, दोनूय शून्यचाकशून्यखंयचीच समरकमेची, डझनाची वा स्तंभाची पैज व्यापना असो एकूच पाचवो कप्पो; कॅसिनोच्या गणिती फायद्याचें मूळ. हेर नांवां: एक शून्य, 0.पुराय वाचात → सोडून एका चाकाचेर आयिल्ल्यो अशें सांगून. एकेंत रंग 25 फावटीं बदलता आनी तिची सगळ्यांत लांब माळ स ची. दुसरेंत रंग 35 फावटीं बदलता आनी माळ केन्नाच तिनां परस लांब जायना. कोणती वळेरी तयार केल्ली?
उकल दाखयात
जाप दुसरी. खरी वळेरी सुमार 24 वा 25 फावटीं बदलता. 35 बदल आशिल्ली वळेरी सुमार 500 वळेरीं पयकी एक फावट येता, आनी तिनां परस लांब माळ नाशिल्ली वळेरी 100 पयकी सुमार दोन फावटीं.
दरेक नवो रंग आदल्या रंगाची पुनरावृत्ती करता वा बदलता, अर्दें अर्दें, देखून बदलपाच्यो 49 संदी सरासरी 24.5 बदल दितात, सुमार 3.5 उणे-चड. पस्तीस म्हळ्यार सरासरी परस तसलीं तीन पावलां वयर; निपक्षपाती चाक इतले बदल सुमार 500 वळेरीं पयकी एक फावट दिता.
माळो लेगीत तीच कथा सांगतात. 50 ची खरी वळेरी सुमार 98% फावटीं चार वा चड लांबायेची माळ दाखयता, आनी तिची सगळ्यांत लांब माळ चड करून पांच वा स ची आसता.
यादृच्छिक वळेरी रचपाक सांगिल्ले लोक रंग चड फावटीं बदलतात, कारण चार वा पांचांची माळ तांकां नमुनो कसो दिसता. Taylor (2021) विद्यार्थ्यांनी रचिल्ल्या नाण्याच्या उडयांच्या वळेरींनी हीच खूण दाखयता: खरो यादृच्छिकपणा लोकांच्या अपेक्षे परस चड माळांनी भरिल्लो आसता.
कॅसिनोच्या काण्यांचें एक पुस्तक एका खेळगड्याची काणी सांगता, जाचो आंकडो सलग पांच फावटीं आयलो, आनी ताका विक्रम म्हणटा. युरोपी चाकाचेर तें कितलें दुर्मीळ? आनी 20 टेबलां आशिल्ल्या, दरेक टेबल वरांक 40 फावटीं, दीस-रात फिरोवपी एका कॅसिनोंत खंयच्याय टेबलाचेर तें कितल्या फावटीं घडूंक जाय?
उकल दाखयात
जाप आदीं सांगिल्लो आंकडो सलग पांच फावटीं: 69 दशलक्षांत 1. खंयचोय आंकडो पयल्यांदा आयल्या उपरांत आनीक चार फावटीं: 1.87 दशलक्षांत 1. तो कॅसिनो वर्साक सुमार 7 दशलक्ष फिरक्यो करता, देखून ताका वर्साक तीन वा चार फावटीं पांचांची माळ दिसूंक जाय.
आदीं सांगिल्लो आंकडो दर फिरकेंत 1/37 संदीन येता, देखून सलग पांच फावटीं येवपाची संद (1/37)⁵ = 6,93,43,957 तल्यान 1. पूण कोणूच आंकडो आदीं सांगना. पयलो जो आंकडो येता, ताची फुडल्या चार फिरक्यांनी पुनरावृत्ती जावंक जाय: (1/37)⁴ = 18,74,161 तल्यान 1.
20 टेबलां × 40 फिरक्यो × 24 वरां × 365 दीस = वर्साक 70,08,000 फिरक्यो. दरेक फिरकी माळ सुरू करूं येता, देखून कॅसिनोक वर्साक 70,08,000/18,74,161 ≈ 3.7 पांचांच्यो माळो अपेक्षित आसात.
असल्या प्रकारचो खंयचोच अधिकृत विक्रम ना, आनी ताची गरजूय ना: एका टेबलाचेर दुर्मीळ घडणूक पुराय कॅसिनोंत सादारण आसता, आनी काणयो ती घडली त्या टेबलाविशीं सांगतात. Goldman (2007) हातूंतली काणी दोबळ्या शून्याच्या चाकाचेर घडटा, थंय आंकडे 79 दशलक्षांत 1 आनी 2.09 दशलक्षांत 1 आसात.
उमळशीक हांसो
यादृच्छीकताय अशीच दिसता: लांब माळो.
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2री आवृत्ती.