प्रस्न: टेबलाची मर्यादा
$500 मर्यादेच्या टेबलाचेर $10 ची Martingale. ती कितली फावट मोडटा, मोडटा तेन्ना कितलें हारता, आनी मर्यादा वाडयल्यार उपेग जाता?
सलग स हारांनी ती मोडटा: दर चक्राक 1.8%, 100 फिरक्यांच्या सत्रांचो सुमार 60%. मोडल्यार $630 वतात. मर्यादा $5,000 केल्यार मोडप विरळ (दर चक्राक 0.25%) आनी व्हडलें ($5,110) जाता. खंयचीय मर्यादा आसूं, दर लायल्ल्या डॉलराफाटलो अपेक्षित तोटो 2.70% आसता.
प्रस्न
एक खेळगडो तांबड्याचेरपैजतांबडो18 तांबड्या आंकड्यांचेर समरकमेची पैज. फ्रेंच: rouge.पुराय वाचात → $10 लायता आनी दर हारा उपरांत दुप्पट करता, जैता उपरांत परत मूळ पैजेचेर येता. टेबलाची कमाल मर्यादा $500. (a) कितल्या सलग हारांनी पैज बदलपाची पद्धतरणनीतीपैज बदलपाची पद्धतआदल्या निकालांचेर आदारून पैजेची रक्कम बदलपी खंयचोय नेम. नकारात्मक पद्धती तोट्या उपरांत रक्कम वाडयतात, सकारात्मक जैता उपरांत.पुराय वाचात → मोडटा? (b) दर चक्राक ताची संभाव्यतायगणीतसंभाव्यतायएखादो निकाल येवपाची संद, 0 ते 1 वा 0% ते 100%. एक आंकडो: 1/37 = 2.70%.पुराय वाचात → कितली? (c) मोडटा तेन्ना कितलें वता? (d) $5,000 ची मर्यादा जापो कशे बदलता? (e) खंयचीय मर्यादा ही पद्धत फायद्याची करता?
जापो (a)–(c)
पैजेच्यो रकमो: 10, 20, 40, 80, 160, 320. सातवी 640 > 500 जातली, देखून स हारांनी ती मोडटा. (b) तांबड्याचेर p(हार) = 19/37; (19/37)⁶ = 0.0183, दर चक्राक सुमार 1.8%. एक चक्र सरासरी सुमार दोन फिरक्यो चलता, देखून 100 फिरक्यांच्या सत्रांत सुमार 50 चक्रां आसतात आनी p(उण्यांत उणें एक फावट मोडप) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, म्हळ्यार मूळ पैजेचीं 63 एककांपयशेएककपद्धत वा खेळगडो वापरता ती मूळ पैजेची रक्कम. पैज बदलपाच्यो पद्धती एककांनी सांगतात, जाका लागून त्यो खंयच्याय टेबलाचेर लागू जातात.पुराय वाचात →, जाल्यार चक्र फकत $10 जिखपाचो यत्न करतालें.
जाप (d)
$5,000 चेर: 2,560 मेरेन पैजो लावंक मेळटात; धावी पैज, 5,120, नाकारतात. णव हारांनी ती मोडटा: दर चक्राक (19/37)⁹ ≈ 0.25%, 100 फिरक्यांच्या सत्रांचो सुमार 11%. मोडटा तेन्नाचो तोटो: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. खेळगड्यान विरळ संकश्ट विकतें घेतलां, पूण चड व्हडल्या मोलान. जायत्या सत्रांनी मोडपाचो अपेक्षित खर्च p × तोटो ≈ $500 मर्यादेचेर दर चक्राक 0.0183 × 630 = $11.5 आनी $5,000 चेर 0.0025 × 5,110 = $12.8; दोनूय लागीं आसात पूण समान न्हय, आनी दरेक म्हळ्यार चक्राचो अपेक्षित तोटोगणीतअपेक्षित तोटोअपेक्षित मोल गुणिले एकूण लायल्ली रक्कम; एखाद्या सत्रांत वा काळांत सरासरी सलपी रक्कम.पुराय वाचात → आनी जिखपी चक्रांनी मेळपी $10 हांची बेरीज.
जाप (e)
ना. खंयचीय मर्यादा आसूं, दर चक्राचो अपेक्षित तोटो = (चक्रांतली अपेक्षित एकूण पैजेची रक्कम) / 37, कारण दरेक पैज आपल्या रकमेचो −1/37 आसा. मर्यादा फकत तोटो जायत्या ल्हान जैतां आनी थोड्या व्हडल्या हारां मदीं कसो वांटता तें थारायता. मर्यादा नासल्यार आनी अनंत खेळाची राखीव रक्कमपयशेखेळाची राखीव रक्कमखेळपा खातीर वेगळी काडून दवरिल्ली एकूण रक्कम. दरेक पैजेंत आनी सत्रांत तिच्यांतली कितली रक्कम धोक्यांत घालची हें थारावप म्हळ्यार तिचें वेवस्थापन.पुराय वाचात → आसल्यार ही पद्धत केन्नाच मोडची ना ह्या अर्थान “चलतली”, आनी ती अमर्याद रक्कम लायतली, जिचो अपेक्षित तोटो त्या अमर्याद रकमेचो 2.70% आसतलो. MartingaleरणनीतीMartingaleदरेक तोट्या उपरांत पैज दुप्पट करपी पद्धत. ती कितें करता आनी कितें करिना तें रणनीती विभागांत पळयात.पुराय वाचात → चलूंक दिना ती टेबलाची मर्यादाटेबलटेबलाची मर्यादामान्य आशिल्ली उण्यांत उणी आनी चडांत चड पैज. चडांत चड मर्यादा दुप्पट करपी पद्धतींक आडायता.पुराय वाचात → न्हय. गणीत.
दोन खरीं टेबलां
Thorp चें उदाहरण $1 चें टेबल आनी $1,000 ची कमाल मर्यादा, जंय एक खेळगडो रातच्या जेवणाखातीर एक एक डॉलर करून $30 जिखपाची आस्त धरता. 1, 2, 4 … 512 ह्यो रकमो धा पैजो लावंक दितात, देखून सलग धा हारांनी पद्धत मोडटा: युरोपी चाकाचेर 785 चक्रांतल्यान एक फावट (अमेरिकन चाकाचेर 613 तल्यान एक फावट), आनी ताचें मोल $1,023. तीसूय चक्रां 96.2% फावटीं येसस्वी जातात. उरिल्ल्या 3.8% फावटीं सुमार $1,000 वतात, आनी सांजेचो सरासरी निकाल −$9.17, म्हळ्यार तीस चक्रां सरासरी लायतात त्या $339 चो नेमको 1/37. $2,000 कमाल मर्यादेचें $5 चें टेबल वेगळें ना: $1,280 मेरेनच्यो रकमो णव पैजो लावंक दितात, आनी युरोपी चाकाचेर 403 चक्रांतल्यान एक फावट (अमेरिकन चाकाचेर 323 तल्यान एक फावट) पद्धत मोडटा आनी $2,555 वतात.
गिरेस्त खेळगडो
उणे मर्यादे बदला पद्धतीक खूब व्हडली राखीव रक्कम दियात: 1,000 एककां, एक एककाची मूळ पैज आनी तांबड्याचेर 1,000 फिरक्यो, आनी फुडली दुप्पट पैज उरिल्ल्या रकमे परस चड जाता तेन्ना परत एक एकका सावन सुरवात. आमी अश्यो धा लाख सांजो अनुकरणान चलयल्यो. युरोपी चाकाचेर 52% फायद्यांत सोंपतात, 21% सगळें हारतात, आनी सरासरी निकाल −124 एककां. शून्यचाकशून्यखंयचीच समरकमेची, डझनाची वा स्तंभाची पैज व्यापना असो एकूच पाचवो कप्पो; कॅसिनोच्या गणिती फायद्याचें मूळ. हेर नांवां: एक शून्य, 0.पुराय वाचात → नाशिल्ल्या खेळांतय, जंय दरेक पैज निपक्षपाती आसा, फकत सुमार 60% फायद्यांत सोंपतल्यो. सादारण सांज ल्हान जैतान सोंपता; सरासरीचें मोल शून्याचेर सोंपपी सांजो फारीक करतात.
धडो
कॅसिनो आपलें प्रसरणगणीतप्रसरणअपेक्षित मोला भोंवतणी निकाल कितले पातळटात हाचें माप. स्ट्रेट अप खातीर चड, समरकमेच्या पैजां खातीर उणें.पुराय वाचात → मर्यादेंत दवरपाखातीर मर्यादा घालतात, पद्धती हारोवपाखातीर न्हय. Martingale हारप हो तांकां आवडपी उपपरिणाम, आनी गणितान ती खंयच्याय परिस्थितींत हारयली आसती. मर्यादा हीच अडचण अशें मानपी खेळगड्यान कडो सोदला, पूण ताका देंवती वाट समजूंक ना.
सूत्र
प्रस्न
ती तुमकां चड मर्यादे मेरेन टिकूंक दिता, जंय मोडप विरळ आनी व्हडलें आसता. दर डॉलराफाटलो अपेक्षित तोटो बदलना.
रकमो 10, 30, 70, 150, 310: पांच हारां उपरांत $500 ची मर्यादा आडवी येता, आनी मोडल्यार $570 वतात. तोच 2.70%.
कॅसिनोच्या राखीव निधींतल्यान सहज फारीक करूंक जायना इतली पैज एक खेळगडो लावंक शकचो ना म्हूण. प्रसरणाचें वेवस्थापन.
गणिताची मजा
पयलीं हे प्रस्न तुमी स्वता सोडोवन पळयात. दरेक उकल लिपयल्या; तुमी तयार जातकच ती उगडात.
एक MartingaleरणनीतीMartingaleदरेक तोट्या उपरांत पैज दुप्पट करपी पद्धत. ती कितें करता आनी कितें करिना तें रणनीती विभागांत पळयात.पुराय वाचात → तांबड्याचेरपैजतांबडो18 तांबड्या आंकड्यांचेर समरकमेची पैज. फ्रेंच: rouge.पुराय वाचात → $100 न सुरू जाता आनी चक्राक चडांत चड n पैजो लावपाक मेळटात: सलग n तोट्यां उपरांत ती सोडून परतून सुरवात करता. एका चक्राचो सरासरी निकाल n चें सूत्र म्हूण बरयात, आनी युरोपी चाकाचेर 5, 6 आनी 7 पैजांखातीर काडात.
उकल दाखयात
जाप सरासरी 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 पैजांखातीर −$14.26, 6 खातीर −$17.35 आनी 7 खातीर −$20.52. चड पैजो लावपाक दिल्ल्यार सरासरी चक्र बरें न्हय, वायट जाता.
सगळ्यो n पैजो हारल्यो ना जाल्यार चक्र $100 जिखता; तें qⁿ संदीन घडटा, जंय q = 19/37. सगळ्यो हारल्यार, पैजेच्यो रकमो 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ मेळून 100 × (2ⁿ − 1) जातात. देखून सरासरी 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
हांगा 2q = 38/37, 1 परस थोडो चड, देखून (2q)ⁿ n वांगडा वाडटा आनी सरासरी देंवता: n = 5 दिता 1.1426 आनी −$14.26; n = 6 दिता 1.1735 आनी −$17.35; n = 7 दिता 1.2052 आनी −$20.52. लांब शिडी उण्या फावटीं हारता, 3.6%, 1.8% आनी 0.9% चक्रांनी, पूण दरेक तोटो दुप्पट व्हड आसता, आनी दर चक्राक टेबलाचेर चड पयशे वतात, दरेक पैजेचेर 2.70% न.
अमेरिकन चाकाचेर 2q = 40/38 आनी आंकडे −$29.24, −$36.04 आनी −$43.20 (Taylor, 2021). शून्यचाकशून्यखंयचीच समरकमेची, डझनाची वा स्तंभाची पैज व्यापना असो एकूच पाचवो कप्पो; कॅसिनोच्या गणिती फायद्याचें मूळ. हेर नांवां: एक शून्य, 0.पुराय वाचात → नाशिल्ल्या खेळांत 2q = 1, आनी शिडी कितलीय लांब आसूं, दरेक चक्राची सरासरी बरोबर शून्य.
“व्हडली Martingale” तोट्या उपरांत पैज दुप्पट करता आनी एक एककपयशेएककपद्धत वा खेळगडो वापरता ती मूळ पैजेची रक्कम. पैज बदलपाच्यो पद्धती एककांनी सांगतात, जाका लागून त्यो खंयच्याय टेबलाचेर लागू जातात.पुराय वाचात → भरता, देखून रकमो 1, 3, 7, 15, 31 … अशो वतात. पयलें जैत 1ल्या, 2ऱ्या, 3ऱ्या वा k व्या पैजेचेर आयल्यार तुमी कितले फायद्यांत? $10 चें एकक आनी $500 चडांत चड आसतना, चक्र कितल्या फावटीं मोडटा, आनी चक्राचो सरासरी खर्च कितलो?
उकल दाखयात
जाप k व्या पैजेचेर जैत तुमकां k एककां फायद्यांत दवरता: +1, +2, +3 अशें फुडें. $10 आनी $500 चेर चक्र पांच तोट्यां उपरांत मोडटा, 3.57% चक्रांनी, −$570 न. सरासरी चक्र लायल्ल्या $85.73 तल्यान $2.32 सलता: 2.70%.
k वी रक्कम 2ᵏ − 1 एककां: 1, 3, 7, 15, 31. पयल्यो k − 1 रकमो मेळून 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. k व्या पैजेचेर जैत 2ᵏ − 1 दिता, देखून चक्र (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k एककां फायद्यांत सोंपता: जैता आदल्या दरेक तोट्याखातीर एक अदिक एकक.
एककाक $10 आसतना रकमो $10, $30, $70, $150 आनी $310; फुडली, $630, $500 च्या चडांत चड मर्यादे परस चड. सलग पांच तोटे, (19/37)⁵ = 3.57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 खर्च करतात.
सरासरी: k = 1 ते 5 खातीर जैत (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 संदीन $10 × k हाडटात, आनी मोडप 3.57% संदीन $570 घेता; एकठांय −$2.32. लायल्ली रक्कम चक्राक सरासरी $85.73, आनी 2.32/85.73 = 2.70%. त्याच टेबलाचेर सादी Martingale स तोट्यां उपरांत मोडटा, 1.83% चक्रांनी, −$630 न, आनी लायल्ल्या $64.20 तल्यान $1.74 सलता: परतून 2.70%.
एक खेळगडो $1,000 मर्यादा आशिल्ल्या टेबलाचेर $1 च्या पयल्या पैजेन तांबड्याचेर Martingale खेळपाची येवजण करता, देखून धा पैजो शक्य: $1, $2, $4 अशें $512 मेरेन. चक्र कितल्या फावटीं सगळ्यो धा हारता, तें जावपाक सरासरी कितलो वेळ लागता, आनी 200 पैजांची सांज कितल्या फावटीं अशी सोंपता?
उकल दाखयात
जाप चक्र सुमार 784 तल्यान एक फावट सगळ्यो धा हारता, आनी ताचो खर्च $1,023. तें सरासरी सुमार 1,600 पैजो, आनी 200 पैजांची सांज सुमार 11% फावटीं वण्टीक आपटता. तरीय चक्र लायल्ल्या $11.31 तल्यान सरासरी $0.31 सलता: 2.70%.
तांबड्याचेर पैज 19/37 संदीन हारता, शून्य धरून. सलग धा: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, सुमार 784 तल्यान 1. रकमो 1 + 2 + 4 + … + 512 मेळून $1,023.
चक्राक सरासरी 2.05 पैजो लागतात, देखून 784 चक्रांक सुमार 1,600 पैजो. फिरकी फिरकी मेजल्यार, धा तोट्यांची माळ 200 पैजांनी खंयचेय 11.3% फावटीं दिसता.
आपत्तीं मदीं खेळगडो चक्राक $1 जिखता: वायट चक्रा आदीं सुमार $783, मागीर −$1,023, पुराय काळांत सुमार −$240. चक्राक: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. चक्राक लायल्ली रक्कम: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. आनी −0.31/11.31 = −2.70%.
$500 मर्यादेचेर $10 ची पयली पैज, स पैजो, हाचे कडेन तुळा करात: वण्ट 55 चक्रांतल्यान एक फावट येता, आनी 200 पैजांची सांज 84% फावटीं तिका आपटता. उंच मर्यादा कोसळप चड दुर्मीळ आनी व्हड करता, स्वस्त न्हय.
उमळशीक हांसो
दरेक मर्यादेचेर चड विरळ आनी चड व्हडलें. गुणाकार थीर.
स्रोत
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2री आवृत्ती.