प्रस्न: जल्मदिसाचें चाक
खंयचोय आंकडो परत येवपाक कितल्यो फिरक्यो लागतात? चड जाणांच्या अदमासा परस खूब उण्यो.
37 कप्प्यांच्यासाधनांकप्पोरोटराचेर आशिल्ल्या 37 आंकडेवार कप्प्यां मदलो एक. हेर नांवां: स्लॉट, कप.पुराय वाचात → चाकाचेर जल्मदिसाचो प्रस्न: फकत 8 फिरक्यो जाले उपरांत खंयचोय आंकडो आदींच दोन फावटीं आयिल्लो आसपाची संद अर्द्या परस चड आसता. खेळगड्यांक अशा परतून येवपांत नमुने दिसतात; पूण निपक्षपाती चाकाकडल्यान नेमकें हेंच अपेक्षित आसता.
प्रस्न
निपक्षपाती युरोपी चाक घुंवडायात. उण्यांत उणें दोन फिरक्यांनी तोच आंकडो येवपाची संभाव्यतायगणीतसंभाव्यतायएखादो निकाल येवपाची संद, 0 ते 1 वा 0% ते 100%. एक आंकडो: 1/37 = 2.70%.पुराय वाचात → अर्द्या परस चड जावपाक कितल्यो फिरक्यो लागतल्यो? चड करून खेळगडी 18 वा 19, म्हळ्यार 37 चो अर्दो, अशें अदमासतात. जाप 8.
जाप
परतून येवचो ना हाची संभाव्यताय काडात आनी ती एकांतल्यान वजा करात. k फिरक्यो जाले उपरांत p(सगळे वेगळे) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8 खातीर: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, देखून p(खंयचोय परतून येता) ≈ 0.56. k = 14 खातीर ती 0.93; k = 20 खातीर 0.996. अंतःप्रेरणा चुकता कारण फिरक्यांच्यो जोड्यो k² प्रमाणें वाडटात, आनी खंयचीय जोडी जुळूंक शकता.
टेबलाचेर हाचें म्हत्व कित्याक
निमाण्या 20 आंकड्यांच्या निकालांच्या फलकाचेर सुमार सदांच उण्यांत उणो एक परतून आयिल्लो आंकडो दिसता, जायते फावटीं दोन वा तीन. खेळगडी “धा फिरक्यांनी 17 दोन फावटीं आयलो” हें पळयतात आनी 17 गरम आसा असो निश्कर्श काडटात; जल्मदिसाचें गणीत सांगता की धा फिरक्यांनी परतून येवप 74% फावटीं घडटा आनी परतून आयिल्लो आंकडो येता तसो खंयचोय आसता. नमुनो खरो; ताचो अर्थ न्हय.
फुडलो प्रस्न
एक थारायिल्लो आंकडो, समजात 17, दोन फावटीं येवपाक कितल्यो फिरक्यो लागतल्यो? हो वेगळो प्रस्न आनी ताची जाप खूब व्हडली: अपेक्षित वाट 74 फिरक्यांची, आनी 20 फिरक्यांनी दोन फावटीं 17 येवपाची संभाव्यताय सुमार 10%. “खंयचोय आंकडो परतून येता” (8 फिरक्यो) आनी “हो आंकडो परतून येता” (74 फिरक्यो) हांचेमदलो फरक म्हळ्यार उपरांत दिसपी नमुनो आनी आदीं केल्लें भाकीत हांचेमदलो पुराय फरक.
प्रयत्न करून पळयात
डेमो खेळ धा फिरक्यांखातीर चलयात आनी इतिहास पळयात. चड करून एक आंकडो परतून आयिल्लो आसतलो. परत चलयात. परतून आयिल्लो आंकडो वेगळो आसतलो. अशें धा फावटीं केल्यार तुमी जल्मदिसाचो प्रस्नगणीतजल्मदिसाचो प्रस्नदोन मनशांचो जल्मदीस एकाच दिसा आसपाची संद व्हड जावपाक कितले मनीस जाय, वा एखादो आंकडो परत येवपाची संद व्हड जावपाक कितल्यो फिरक्यो जाय हो प्रस्न. 37 कप्प्यांच्या चाकाचेर 8 फिरक्यांनी ही संद अर्द्या परस चड जाता.पुराय वाचात → पळयला; हजार फावटीं केल्यार (सिम्युलेटर करूंक शकतात) तुमी तो मेजला.
सूत्र
प्रस्न
नेमको तसोच, फकत 365 दिसां बदला 37 कप्पे. जल्मदिसांखातीर 23 मनशां 50% दितात; चाकाखातीर 8 फिरक्यो 56% दितात.
सुमार 19 फिरक्यां उपरांत 50%. हेंय सादारणूच.
ना. एका चाकाच्यो हजारांनी फिरक्यो ती खूण दिवंक शकतात; एक परतून येवप केन्नाच ना.
गणिताची मजा
पयलीं हे प्रस्न तुमी स्वता सोडोवन पळयात. दरेक उकल लिपयल्या; तुमी तयार जातकच ती उगडात.
अमेरिकन चाका कुशीचो निकालांचो फलक निमाण्यो 16 फिरक्यो दाखयता. ताचेर एकूय आंकडो दोन फावटीं दिसना, हाची संभाव्यताय कितली?
उकल दाखयात
जाप सुमार 2.5%: सुमार 40 भितर 39 फलक किमान एक परतून आयिल्लो आंकडो दाखयतात.
एके एके फिरकेन वचात. पयली फिरकी कांयय आसूं येता. दुसरी तिका चुकोवंक जाय: 38 भितर 37 संदी. तिसरी दोनूय चुकोवंक जाय: 38 भितर 36. सोळावी पंदरा आंकडे चुकोवंक जाय: 38 भितर 23.
गुणाकार करात: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
परतून आयिल्लो आंकडो नाशिल्लो फलकूच दुर्मीळ. परतून आयिल्लो आंकडो आशिल्लो फलक चाका विशीं कांयच सांगना.
युरोपी चाकाच्या धा फिरक्यांनी 17 नेमको पांच फावटीं येवपाची संद कितली? खंयचोय एक आंकडो, कोणूय आसूं, पांच वा चड फावटीं येवपाची? आनी चार फिरक्यांनी खंयचोय आंकडो किमान तीन फावटीं येवपाची?
उकल दाखयात
जाप 17 नेमको पांच फावटीं: 3,15,576 भितर 1. खंयचोय आंकडो पांच वा चड फावटीं: सुमार 8,333 भितर 1. चार फिरक्यांनी खंयचोय आंकडो तीन वा चड फावटीं: 349 भितर 1.
17 पांच फावटीं: धा फिरक्यां मदल्यो खंयच्यो पांच तें वेंचात, 252 रिती, दरेकीची संद (1/37)⁵ × (36/37)⁵. सगळें मेळून, 3,15,576 भितर 1.
खंयचोय आंकडो: 37 आंकड्यां मदल्या दरेकाक पांच वा चड फावटीं येवपाची संद 3,08,325 भितर 1, जाका लागून 3,08,325 भितर 37, वा 8,333 भितर 1. दोन आंकडे दरेकी पांच फावटीं येवपाचो दुर्मीळ प्रसंग दोन फावटीं मेजला, पूण तो काडल्यार ह्या अचूकतायेचेर कांयच बदलना.
चार फिरक्यांनी तीन फावटीं: एका आंकड्याखातीर, 37⁴ शक्य निकालां मदले 4 × 36 + 1 = 145; 37 आंकड्यां मदल्या खंयच्याय आंकड्याखातीर, 145/37³ = 349 भितर 1.
दोन शून्यांच्याचाकशून्यखंयचीच समरकमेची, डझनाची वा स्तंभाची पैज व्यापना असो एकूच पाचवो कप्पो; कॅसिनोच्या गणिती फायद्याचें मूळ. हेर नांवां: एक शून्य, 0.पुराय वाचात → चाकाखातीर हे आंकडे 3,59,275 भितर 1, 9,243 भितर 1 आनी 368 भितर 1 जातात. “17” आनी “खंयचोय आंकडो” हांचे मदलो फरक परतून जल्मदिसाचो प्रस्नगणीतजल्मदिसाचो प्रस्नदोन मनशांचो जल्मदीस एकाच दिसा आसपाची संद व्हड जावपाक कितले मनीस जाय, वा एखादो आंकडो परत येवपाची संद व्हड जावपाक कितल्यो फिरक्यो जाय हो प्रस्न. 37 कप्प्यांच्या चाकाचेर 8 फिरक्यांनी ही संद अर्द्या परस चड जाता.पुराय वाचात →: अजाप जावपाच्यो 37 रिती आसात.
उमळशीक हांसो
कांयतरी बेगीन परतून येता. तें कितें, तें येता तशें खंयचेंय.
स्रोत
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, रुलेटविशीं प्रस्न.