प्रसरण
तोच अपेक्षित तोटोगणीतअपेक्षित तोटोअपेक्षित मोल गुणिले एकूण लायल्ली रक्कम; एखाद्या सत्रांत वा काळांत सरासरी सलपी रक्कम.पुराय वाचात → आसतनाय स्ट्रेट अप आनी तांबड्याचेर पैज हे दोन वेगळे खेळ अशें कित्याक दिसता.
प्रसरण अपेक्षित मोलाच्या भोंवतणी निकाल कितले पातळटात तें मेजता. लायल्ल्या दरेक एककाक तें स्ट्रेट अपाखातीर सुमार 34 आनी तांबड्याखातीर सुमार 1 आसता.
एका पैजेचें सूत्र
जी पैज p संभाव्यतायेनगणीतसंभाव्यतायएखादो निकाल येवपाची संद, 0 ते 1 वा 0% ते 100%. एक आंकडो: 1/37 = 2.70%.पुराय वाचात → W आड 1 दिता, तिचो दर एककाचोपयशेएककपद्धत वा खेळगडो वापरता ती मूळ पैजेची रक्कम. पैज बदलपाच्यो पद्धती एककांनी सांगतात, जाका लागून त्यो खंयच्याय टेबलाचेर लागू जातात.पुराय वाचात → निकाल p संभाव्यतायेन +W आनी 1 − p संभाव्यतायेन −1. अपेक्षित मोलगणीतअपेक्षित मोललांब पल्ल्यान दर पैजे फाटल्यान मेळपी सरासरी निकाल. दरेक प्रमाणीत युरोपी पैजे खातीर तो पैजेच्या रकमेच्या −1/37 आसता.पुराय वाचात → pW − (1 − p) = −1/37. प्रसरणगणीतप्रसरणअपेक्षित मोला भोंवतणी निकाल कितले पातळटात हाचें माप. स्ट्रेट अप खातीर चड, समरकमेच्या पैजां खातीर उणें.पुराय वाचात → E[X²] − EV² = pW² + (1 − p) − (1/37)². स्ट्रेट अपाखातीरपैजस्ट्रेट अपएकूच आंकडो; मेळपी रक्कम 35:1.पुराय वाचात →: (1/37)(1225) + 36/37 − 0.0007 ≈ 34.08. तांबड्याखातीरपैजतांबडो18 तांबड्या आंकड्यांचेर समरकमेची पैज. फ्रेंच: rouge.पुराय वाचात →: 18/37 + 19/37 − 0.0007 ≈ 0.999.
सत्राखातीर हाचो अर्थ
स्वतंत्र फिरक्यांचींगणीतस्वतंत्र फिरक्योआदीं कितेंय जालें तरी दरेक फिरकेच्यो संभाव्यताय तोच आसतात. ह्या सायटीवयल्या दरेक गणनेचो हो आदार.पुराय वाचात → प्रसरणां बेरीज जातात, देखून थीर रकमेच्या N फिरक्यांनी एकूण निकालाचें प्रसरण N × पैजेची रक्कम² × σ² आनी प्रमाण विचलनगणीतप्रमाण विचलनप्रसरणाचें वर्गमूळ; अपेक्षित मोला सावन निकालाचें सादारण अंतर.पुराय वाचात → σ × पैजेची रक्कम × √N. $10 च्यो 100 फिरक्यो: स्ट्रेट अपाचें प्रमाण विचलन सुमार $584 आनी तांबड्याचें $100, दोनूय तेंच अपेक्षित −$27 भोंवतणी. एका खेळगड्याक निकाल शेंकड्यांनी वयर-सकयल जायत दिसतात; दुसऱ्याक तो हळूच सरकता. दोगूय तेंच मोल फारीक करतात.
प्रसरण आनी पद्धती
पैज बदलपाची पद्धतरणनीतीपैज बदलपाची पद्धतआदल्या निकालांचेर आदारून पैजेची रक्कम बदलपी खंयचोय नेम. नकारात्मक पद्धती तोट्या उपरांत रक्कम वाडयतात, सकारात्मक जैता उपरांत.पुराय वाचात → लायल्ल्या दरेक एककाचें अपेक्षित मोल बदलना, पूण लायल्ली रक्कम आनी निकालांच्या वांटणेचो आकार दोनूय बदलता. MartingaleरणनीतीMartingaleदरेक तोट्या उपरांत पैज दुप्पट करपी पद्धत. ती कितें करता आनी कितें करिना तें रणनीती विभागांत पळयात.पुराय वाचात → चड करून सत्रांचें प्रसरण उणें करता (जायते ल्हान जैत) आनी एक जाड शेंपडी जोडटा (कुसकुशीत येवपी व्हडलो तोटो); त्या शेंपडेक लागून सगळ्या सत्रांचें एकूण प्रसरण थीर रकमेच्या पैजेरणनीतीथीर रकमेची पैजदर फिरकेक तितलीच रक्कम लावप. दरेक पैज बदलपाच्या पद्धतीची तुळा ह्या मुळाव्या पद्धती कडेन करतात.पुराय वाचात → परस चड आसता. ParoliरणनीतीParoliसकारात्मक पद्धत: जैता उपरांत दुप्पट, तोट्या उपरांत वा सलग तीन जैतां उपरांत परत सुरवात. हेर नांव: उरफाटी Martingale.पुराय वाचात → उरफाटें करता. पद्धत वेंचप म्हळ्यार प्रसरणाचो आकार वेंचप; सरासरी वेंचपाक मेळना.
- p10 −$500
- p25 −$500
- मध्यक −$500
- p75 +$40
- p90 +$1,120
रुलेटांत थीर रकमेच्या पैजेची रणनीतीरुलेटची Paroli रणनीती (उरफाटी Martingale)
खेळगड्याखातीर तें म्हत्वाचें कित्याक
प्रसरणाक लागून ल्हान सत्रांचो अदमास करूंक जायना आनी लांब सत्रांचो करूं येता. 100 फिरक्यांनी σ = $100 आनी EV = −$27 आसल्यार गणिती फायदो गोंदळाचो चवथो वांटो आनी जिखपी सत्र सादारण गजाल. 10,000 फिरक्यांनी EV −$2,700 आनी σ $1,000; आतां गणिती फायदो गोंदळाच्या लागीं लागीं तीन पटीन, आनी फायद्यांतली सलग माळ एक तीन-सिग्मा घडणूक. थोड्या काळाक प्रसरण खेळगड्याचो इश्ट; लांब पल्ल्यान कॅसिनोचो.
पैजांच्या एकठांयणेचें प्रसरण
एकाच फिरकेंतल्या जायत्या पैजांचे निकाल एकामेकांक जोडिल्ले आसतात (17 लागलो जाल्यार काळोपैजकाळो18 काळ्या आंकड्यांचेर समरकमेची पैज. फ्रेंच: noir.पुराय वाचात → आनी दुसरो डझनयपैजडझन1–12, 13–24 वा 25–36; मेळपी रक्कम 2:1.पुराय वाचात → लागता), देखून तांचीं प्रसरणां सरळ बेरीज जायनात. पैज रचपाचें साधन सगळे 37 निकाल मेजून खंयच्याय चिपांच्यापयशेचिपथारायिल्ल्या रकमेचें प्रतिनिधित्व करपी टोकन. पैज लावपा खातीर तें पैजपटाचेर दवरतात. दुसरें नांव: चेक.पुराय वाचात → रचणुकेची नेमकी वांटणी काडटा, आनी हें करपाची हीच एकूच बरोबर वाट.
सूत्र
प्रस्न
ना. दरेक पैजेचें अपेक्षित मोल तेंच. चड प्रसरण म्हळ्यार ताच्या भोंवतणी चड रुंद वयर-सकयल.
समरकमेच्या पैजांचेंपैजसमरकमेची पैजतांबडो/काळो, विषम/सम, व्हडले/ल्हान. 18 आंकडे; मेळपी रक्कम 1:1.पुराय वाचात →, दर एककाक σ ≈ 1. La PartageनेमLa partageफ्रेंच नेम: शून्य आयल्यार समरकमेच्या पैजेची अर्दी रक्कम परत दितात. अशा पैजांचेर कॅसिनोचो गणिती फायदो अर्दो, म्हळ्यार 1.35% जाता.पुराय वाचात → आसल्यार आनीकूय उणें, आनी तातूंत सरासरीय सुदारता.
दर डॉलराक अपेक्षित फायदो तोच; प्रसरण फकत कॅसिनोचें उत्पन्न कितलें उबाळ-सकयल येता तें बदलता, आनी तें सारकें करपाक कॅसिनोकडेन हजारांनी खेळगडी आसतात.
गणिताची मजा
पयलीं हे प्रस्न तुमी स्वता सोडोवन पळयात. दरेक उकल लिपयल्या; तुमी तयार जातकच ती उगडात.
दोन खेळगडी युरोपी चाकाचेर 100 फिरक्यो दरेकी फिरकेक $1 लायतात, एक सदांच तांबड्याचेरपैजतांबडो18 तांबड्या आंकड्यांचेर समरकमेची पैज. फ्रेंच: rouge.पुराय वाचात →, दुसरो सदांच 17 चेर. निमाणें फायद्यांत आसपाची चड संद कोणाक?
उकल दाखयात
जाप 17 चेर लावपी खेळगड्याक: 50.9%, तांबड्याच्या 35.5% आड. दोगूय सरासरी $2.70 सलतात.
तांबडो: 100 पयकी 51 वा चड जैत आसल्यार खेळगडो फायद्यांत आसता, दरेक जैत 18/37 संभाव्यतायेनगणीतसंभाव्यतायएखादो निकाल येवपाची संद, 0 ते 1 वा 0% ते 100%. एक आंकडो: 1/37 = 2.70%.पुराय वाचात →. द्विपदी वितरण 35.5% दिता, आनी बरोबर 50 जैत, ना फायदो ना तोटो, आनीक 7.7%.
आंकडो 17: दर जैत $36 परत दिता, देखून दोन जैत (−$28) पुरो ना आनी तीन (+$8) पुरो. 1/37 चेर 100 फिरक्यांनी तीन वा चड लागपांची संद 50.9%.
स्ट्रेट अप खेळगडो चड फावटीं फायद्यांत आसता, पूण निकाल चड गुठळ्यांनी येतात: एक लागप चड वा उणें निकाल $36 न हालयता, आनी तोट्यांत आशिल्ले खेळगडी चड करून चड पयस फाटीं आसतात. Bollman (2024) अमेरिकन आंकडे दिता, 26.5% आनी 49.2%.
उमळशीक हांसो
अपेक्षित तोटो तोच. तातूंतली एक पैज तो व्हडल्या आवाजान सांगता.
स्रोत
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.